网上有关“音箱科普系列”话题很是火热，小编也是针对音箱科普系列寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

音箱是一套音响系统的灵魂，对系统声音起决定性的作用。许多音响入门爱好者在选择音箱时都会很迷茫，不知道该如何选择。本文希望用尽可能详尽地讲解音箱市面上的音箱类型，以及其主要的声音特点，希望有利大家选择自己心仪的音箱。

如果有不同见解，欢迎就事论事的讨论，毕竟自己懂得也不多。不欢迎凭想向给立场的喷，谢谢！

在入门者选择音箱的时候，最开始碰到的问题往往是：我究竟是选择无源还是有源的问题？小文就希望简单地谈一谈有源音箱和无源音箱的优点和缺点，以帮助大家更好的选择。

一、有源音箱的优势和劣势

有源音箱和无源音箱它们的本质区别是：有源音箱里面整合了功放，有时也整合了解码前级什么的，而无源里面没有整合功放，就是一台纯粹的音箱。其它的都是不确定的。

有源音箱最大的优势是：内置功放所带来的方便，其实这里的方便更多的是省心。毕竟相对于无源来说，也就是接两根线而已，差别并不大。真正重要的是音箱和功放的搭配是个学问，没有自己试过，哪怕是再有经验的烧友，也不敢肯定一台功放和音箱搭配一定合适。而有源省略了这个步骤，厂家的选择通常要比盲狙搭配强；

有源的另一个优势是：在一定程度上节约了成本，毕竟没有外置功放的壳子；目前有源市场也明显大于无源消费市场，这会进一步地降低了边缘利润。总体来讲，有源确实能实现更低的成本（非售价）；

3：提升了音响系统的下限

自搭配的功放保证了音箱与功放之间的搭配合理性，这会在一定程度上提升系统的下限，保证其基本的发挥水平；另一方面，连接也更简单，毕竟少个香炉少个鬼，在一定程度上减少了干扰的量；

4：易推性方面

目前的有源音箱基本上都是采用电子分频这种方式。电子分频后再通过功放，功放的功率直接输出给扬声器，毫无疑问，这会在很大程度上提高效率，没有无源音箱的分频电路消耗的功率，不需要多大功率也能驱动好扬声器；

5：功能性方面

电子分频系统的加入，使得DSP成为可能。在一定程度上可以改善原音箱频响的波动，并能加入对环境优化设定，减少了音箱对环境的要求。同时，通过DSP，还能提升低频输入，从而让小口径单元实现更低的低频下潜。

二. 有源音箱的缺点

优点说完说缺点。有源音箱是属于优点突出，缺点也突出。虽然对于高端有源来说，有源的很多缺点都可以在一定程度上克服，但难度很高，而成本往往非常惊人，所以不做。

首先，缺乏灵活性和可玩性

由于箱内内置了功放，因此，搭配不同功放得到不同声音表现的灵活性和乐趣也就没有了。另外，也是最重要的一点。有源厂家毕竟配套的功放只是一家，而无源则有无数多的选择。这就涉及到下一个问题了。

其次，天花板比无源低

虽然不能说有源内置的功放一定是瓶颈，但音箱的表现一般是随着功放的性能的提升，其发挥也越接近完美。但是，想在音箱内部内置一部可能完美发挥音箱的功放，其实很难。音箱内部空间太小了！虽然有人各种洗，拿数据来说明很多有源推力上没有问题，但实际上，能做到不是瓶颈已经很不错了，发挥完美，是不太可能的。甚至笔者所听到的高端有源（ATC SCM150有源版），离外置的功放的组合，差别仍然不是一点点。

这种差距会随着价格（或成本）的增加而逐步增大，但到达顶级时差距反而会小一些，因为顶级的有源功放基本上都是外置的了。但对中低端而言，有源系统和无源系统在天花板上的差距会非常明显。但也面临上面讲的，有源厂家用的功放毕竟只是一家厂的，而无源则有无数种选择。既有性价比更出色的，也有性能更出众的。很多杠精老是说：音箱厂自己当然知道自己内置的功放能不能推好自己的音箱，言下之意就是有源音箱内置的就是最优的选择。但实际情况是，有源厂家自己肯定清楚他家的功放能推到多好，也清楚为什么不用更好的功放。不是他不想，而是各方面的限制太多。基本上来讲，有源内置功放推到及格是没问题的，到十成的话，不是不经济，就是没法做进去，甚至，就是没法做出来。大家都不是神仙，哪怕是神仙，也不是想什么都能做成的。

第三，也是很重要的原因，体积限制

音箱体积是有限的，因此，把功放做进去，还要做进一堆其它功能进去，这就决定了没法做到极致。比如，电源不能用传统电源而只能用开关电源，而开关电源的高频干扰和过载性不佳；内置功放不能采用A类、AB类而只能使用D类，目前来看，D类仍然比不上AB类的声音，总体就是比较硬，高频不干净、不细腻。另外，扬声器后面那个大磁刚的漏磁会跟功放电路这些形成相互的干扰，从而劣化电路参数（高中生应该都学习过电磁感应，不过很多杠精选择忽略）。另一方面，音箱内部是需要吸音的，音箱设计的基本要求都是音箱内必须进行声学处理，不然音箱内部的驻波会劣化声音。但偏偏电子线路，尤其是功放是需要散热处理的，绝对不能加吸音棉，不然烧机简直没法避免。另外，音箱工作是会振动的，而电子产品怕振动。小单元发出良好的低频，声音大了失真也大，大声就容易糊。

为什么有源音箱的声音并不好听，或者说好听得很少，原因也很容易想出来了吧。为什么录音棚大多用有源，对录音室而言，好听根本不重要，有DSP，好用，对环境要求低，能让录音师找到问题干活儿挣钱，everything is ok！人家是工作，不是享受。

五、顶级的有源系统，价格也非常贵

顶级录音棚尤其是制作唱片或**中的音乐这些用的真.顶级的电子分频有源箱子，功放和音箱大多是独立腔体的，在物理上完全独立开的，上面的问题是可以避免的。就算用A类AB类也小意思，功率还可以整得很大。不过，那价格，普通人基本不敢想象。其中的关键在于有源的电子分频需要用到多个功放，而功放到了一定程度，价格是真的贵。据说索尼**录音棚里用的亚当，号称一套3000万，而且好象是美金，那怕是RMB，都不是一般人能用的了。

当然，现在无源音箱系统，也有用电子分音的了，基本上也都是不惜成本的玩法了。

总结：

无源的优点是纯粹，音箱只考虑音箱本身，想装多少吸音棉就装多少，分频器复杂些，吃点功率没关系。缺点是难搭配，下限很低，乱七八糟的坑爹货也不少。另外无源箱子对环境要求高，搞不好真不如同价有源好听。但搞好了，上限也高，性价比同样可以非常出色。这都取决于搭配和调试水平。

总之，想方便，随便听听，有源挺好的。想玩极致，不怕麻烦，上无源吧。

有源无源的优势劣势有哪些，欢迎大家在评论区补充和讨论。

关于数学科普书的读书日记

**的制作推出并不容易，就算是烂到底的某些国产片，也一定有称赞的某一点。虽然《霍比特人3：五军之战》时间依然冗长，但战争展现度、特效和镜头运用、场面调度都堪称完美，其中贯彻始终的“中土情怀”更是引来粉丝纷纷为其告别。

前些时候推出了很多幕后花絮贴、超强科普贴，时间可追溯到托尔金的早期构思、米拉麦克斯与华纳的版权之争，故事背景可追溯到《精灵宝钻》中“惟一之神”伊露维塔创造世界，中土的起源。看到这些数万字的论文级文章，刨尽拍摄历程、捋深故事背景，猫头也是万分佩服。但私以为**就是**，从诞生起就已向着其独有的最终形态靠近，过度解析完全不必要。

然而，《霍比特人：五军之战》毕竟是套拍系列的第三部，也与《指环王》有着深厚的联系，若是没有看过原著和其他几部片子，多少对其广袤的世界设定有些疑惑。最严重的是，中土妹子粉极其地多，要是和妹子去看，男生倒一如所知那就惨了。猫头特别开个贴预先解答一下本片的设定，也分析下剧情，看过若不清楚者，再回来读这篇精巧的小文，十分合适。

1. 片名为《五军之战》，到底是哪五个？

很多人甚至不知道“五军”是指五支不同的军队，在看完后也不一定完全清楚。在巨龙史毛戈死后，索林收复孤山，因为长湖镇被史毛戈燃烧殆尽，人类损失惨重，巴德率领人类向索林讨要赔偿，要求瓜分财富。而幽暗密林王瑟兰迪尔想要回属于自己的星光白宝石（据第一部中，也是因为在一次交易中矮人出尔反尔把宝石扣留了；原著中则是同人类一般，要求瓜分财宝），于是和人类一起攻打孤山。这时索林向自己的表哥“铁丘陵之王”——丹恩二世·铁足求助，最终三军对垒。但是与索林有仇的半兽人首领阿索格率军来袭，加上最後出现的博格援军（原著里是座狼大军，**里几乎没有体现出来），人类、精灵、矮人、半兽人、座狼大军“五军”凑齐，开始一次“五军之战”。

2. 《指环王》中的“黑暗魔君”索伦在《霍比特人》中是什么样的存在？

在第二纪元末期，精灵与人类组成“最后同盟”，击败了继魔苟斯之后为祸人间的魔王索伦（详见《指环王：护戒使者》），其为了统领众生而铸造的“至尊魔戒”落入埃西铎手中（最终魔戒害死了埃西铎）。索伦的肉体毁灭，但灵魂并未消亡。在经过修养後，他的灵体慢慢成形，成为幽暗密林南部多尔哥多的妖术师。在第一部中，精灵最初以为那个妖术师是其中一个戒灵，但甘道夫经过侦查发现了真相，接着萨鲁曼带领的圣白议会（主要成员还包括凯兰崔尔和爱隆王）驱逐索伦，索伦重返魔多。萨鲁曼亦暗中背叛了圣白会，加入了索伦。比尔博带领魔戒返回夏尔，60年后将其传递给侄子佛罗多，开始了《指环王》的故事。戒灵是被索伦用魔戒控制的曾经九位伟大的人类国王。《魔戒》原著中，萨鲁曼背叛圣白会并非投靠索伦，而是妄图占据魔戒由自己统领世界。而在《霍比特人》原著里，索伦也不是被凯兰崔尔驱逐的，而是自己还不够强大，闻风消遁。

3. 各分支精灵之间有什么联系？

精灵与人类最後同盟

凯兰崔尔是中土现存的地位最高、力量最强的精灵，费那芬之女，曾经见过维拉众神，感受到双圣树的光辉。尚在阿门洲时，她也是反抗主神、离开阿门洲的诺多族精灵的领袖。其与凯勒鹏共同统治的罗斯洛立安居住着诺多族、辛达族和南多精灵，生长着梅隆树，被称作“黄金森林”。

爱隆是是埃兰迪尔之子，凯兰崔尔的女婿，曾经参加过“最后同盟战役”，统领瑞文戴尔（林谷），他身上兼具精灵与人类的血统，依着被维拉赐予的权利，选择了归属艾尔达族精灵，获得精灵的永生。瑞文戴尔主要生活着残存的诺多精灵。他的兄弟爱洛斯选择成为人类，是努曼诺尔帝国的开国皇帝，寿命可达300年；《指环王》中的阿拉贡是登丹人（努曼诺尔人之后），因此寿命比一般人长得多。《五军之战》里，瑟兰迪尔嘱咐儿子莱戈拉斯去北方寻找那个“登丹人”，即阿拉贡。

瑟兰迪尔是欧瑞费尔之子，莱戈拉斯之父，辛达精灵，统领幽暗密林，其驻地多生活西尔凡精灵。罗斯洛立安、瑞文戴尔、幽暗密林并没有什么直接的关系，仅仅由留在中土世界的不同种族与分支精灵各自统领，也不分绝对的王，更多的像领主而已。在魔戒毁灭后，凯兰崔尔和爱隆率领各自的精灵离开中土世界，而瑟兰迪尔是否也离开，托尔金并不清楚。

4. 在**里，索伦旗下的半兽人军队十分强大，兵种丰富，为什么最后会输？

五军之战里安排得的确不够详细。原著中也有兽人夹击孤山，联军防守艰难的描绘，但中间凸现了很重要的转折——即换皮人比翁和巨鹰的增援。而原小说里没有阿索格这个人物，他不在这个时间线上，网友戏称被PJ擅自复活。反派是博格。比翁到来后，怒发冲冠冲上山，击杀了博格。而强大的巨鹰也祝联军击溃了半兽人。在**里，巨鹰的出现也是转折点，它们打败了敌人援军。当然，**里把胜利根本原因归结为精灵矮人和人类的勇气，因此半兽人会输，从来邪不压正。

5. 为什么代表人类的只有一个镇的人，而且存在个人英雄主义，还有龌龊的小人作祟，完全无法和其他种族相比，有什么寓意吗？

没有什么寓意。《魔戒》三部曲是在二战期间完成的，许多人都以为托尔金在影射时代和战争，但托尔金从来都全部否认。首先，你得把这当作一个纯粹的故事来看。为什么会觉得人类代表的“局限”很小众的问题，要从两方面来思考。第一点是，故事就发生在孤山那儿，那里本来是矮人的地盘，河谷镇被史矛革灭掉了，人类繁华不再，而长湖只是个贸易小港口，自然力量卑微。第二点，人类从来不是伟大的造物，他们身为伊露维塔后生子，不如精灵纯洁和高贵。他们有好人有坏人，有爱有恨，有勇气也有贪欲，看似渺小，不值一提，最终却能以永恒真切的品质逆转败局。故事歌颂了人类，虽然存在小人，许多人亦非常软弱，但要是被英雄呼唤，大家总会团结起来消灭邪恶。

6. 为什么精灵们对话一会儿说精灵语，一会儿却说英语？

在**中，英语即世界语，为中土世界通用的语言。如昆雅、辛达语等几种精灵语在“中土世界”背景中已经自成一套语体系，拼写，发音，书写均有迹可循。我认识的很多网友都会写。**遵从原著而来，肯定要加入一些精灵语彰显其特色，但不可能通篇使用，毕竟是给观众看的。就像现在的抗日剧里，日本人对话，一会儿日语，一会还蹩脚的汉语呢。全部说日语为何还要说汉语？道理一个样的。全部都说精灵语肯定更真实，但观众没人受得了。既要尊重真实，又要适当的照顾观众。

7. 甘道夫和凯兰崔尔女王看似很暧昧？

甘道夫是迈雅，在第三纪元1000年被大气之神曼威派遣到中土帮助人们对抗索伦（还有四位同来的迈雅）。凯兰崔尔也活了几千年了，在霍比特人故事之间的时间里，他俩一直有交集，熟识有感情很正常。在《指环王》中，他们还算是看似正常的交往。到了《霍比特人》看起来不正常，是一些导演故意的艺术加工。

8. 矮人族有女性吗？

有的。精灵和人类都是由伊露维塔创造的，而矮人则是由维拉之一——奥力创造的。**中从没出现过女矮人，但托尔金作品提到过。通常认为女矮人也是长胡子的。在《史矛戈荒漠》里，索林等人被莱戈拉斯率领精灵围住，莱戈拉斯搜身搜出葛罗音携带的照片，上面出现了葛罗音的老婆和儿子金雳（就是指环王中的矮人）。因为都男女外形都一样，所以只要不开口说话，一般人也分辨不出来。

9. 为什么比尔博拿了戒指不告诉别人？

精灵高贵而自我，人类复杂，矮人坚强而固执，而霍比特人则是托尔金表达的最梦想而简单的种族梦想——一群快乐的小人，生活在世外桃源，日出而作，日落而息，与世无争，简单美好地生活。因此他们的生活是充满活力幻想的，一天可以吃六顿，喝酒抽烟跳舞，脾性也养成了农民般的憨厚老实，可能有点自私愚钝，但不失良善。至尊戒的魔力十分强大，精灵尚无法驾驭，更别说人类，还是霍比特人了。咕噜受毒害太深，比尔博亦不能免俗，他获得魔戒却有私心。但大方向是没错的。他发现魔戒时因为善良没有杀掉咕噜，最后还是放弃了持有魔戒。最终魔戒被毁，一切命数早已注定。

10. 《霍比特人》的许多情节都是原著中没有的，为什么要增加？又增加了哪些？

说得简单又好听点，就是为了艺术加工。当然也有人认为出品公司为了多拍几部赚更多钱，这也没错。比如原著中，就没有关于“五军之战”的许多描写，当时托尔金单纯地只想写一部儿童读物，没想过写成奇幻冒险史诗。所以比尔博在五军之战一开始就晕倒了，再苏醒过来战斗就结束了，作者几笔带过。既然已经决定了拍三部曲，且有个震撼的好的收尾，那么**肯定不能含糊吧。所以比尔博还是晕倒了，可以看作向原著致敬。但战争还是再进行，结果却也收获了宏大激烈的效果。

同时另一个重要增加的戏份是关于女精灵塔瑞尔和矮人奇力的感情戏。原著中是没有“塔瑞尔”这个角色的。因为要拍三部曲，如果没有一个至关重要的女性人物和感情戏，剧情势必单调不少。事实证明，这场感情在**里也呼应了瑟兰迪尔的过去，观众得以知晓其为何变得如此冷漠。

删改和增加的细节还有很多，说到底就是为了充实**剧情。

11.“中土世界”真的落幕了吗？还会有其他托尔金小说改编成**吗？

非常遗憾，暂时是落幕了。未来的几年、几十年后可能还会出现改编，但是目前没有确信，遥遥无期。另外托老的两部重要著作《胡林的儿女》和《精灵宝钻》，也都与“魔戒”中第三季元的故事无时间关联。《精灵宝钻》类似《圣经》，内容驳杂，时间线久远，人物众多，改编难度也极大。

所以，还是得去告个别了。中土世界，说再见。

《数学家的眼光》讲的不是解某一类数学题的技巧，它告诉读者的是思考数学问题的思路和方法，重在帮助读者全面提高解决数学问题的能力。《数学家的眼光》被中外专家誉为是一部具有世界先进水平的科普佳作。

数学家的眼光和普通人的眼光不同：在常人看来十分繁难的问题，数学家可能觉得很简单；常人觉得相当简单的问题，数学家可能认为非常复杂。 张景中院士从中学生熟悉的问题入手，通俗生动地介绍了数学家是如何从这些简单的问题中，发现并得出不同凡响的结论的。

《数学家的眼光》通过一系列中学生熟悉的“简单的问题”，说明数学家是如何从这些普通的、众所周知的事实出发，步步深入、分析和挖掘出有广泛应用的深刻规律。使读者了解数学家做事、看问题的思路和方法。同时显示出数学的深刻、透彻，能够达到一般讨论所不能达到的地步；又展示了数学家的穷追不舍、孜孜以求的探索真理的治学精神。使读者在读来既轻松、又兴味盎然的情景中了解并慢慢学会解决数学问题的思路和方法。

很早就读过张景中先生的文章和书，尤其是他以“井中”为笔名写的文字。但第一次认识张先生是在1989年，当时应四川省数学会之邀到峨眉山为数学奥林匹克教师培训班授课。空余时间听了张先生的一节课，他给小学教师讲“鸡兔同笼”，印象很深，确有“啊哈，灵机一动！”之感，处理方法通俗、绝妙。

张先生的经历很不简单。他是北京大学的高材生、下放新疆时做过中学老师、在中国科技大学教过少年班、担任过数学奥林匹克国家队教练……也许正是他深厚的数学功底加上这份经历，使他成为最了解、最关心中小学数学教育的国内著名数学家之一。张先生现在是中国科学院院士、中国科普作家协会理事长。

他在繁忙的科研工作之余为青少年撰写了大量广受好评的数学科普作品，中国少年儿童出版社出版的“院士数学讲座专辑”应该是他的代表作了。获全国优秀畅销书奖，全国优秀科普作品一等奖，第六届国家图书奖，第九届“五个一工程”奖。2004年又入选首批新闻出版总署向全国青少年推荐的百种优秀图书。

数学家组成一个群体是他们有共同的思维习惯，张先生把这称为“数学家的眼光”，这个提法好，很平等、易于让人接受。数学家与普通人的区别就在于这种看问题的眼光和角度的不同，而不是别的什么。在中小学开设数学课的目的之一，就是为学生提供一个了解、体会数学家眼光的机会和环境，教师们应切实地意识到这一点。

《数学家的眼光》通过一系列中学生熟悉的“简单的问题”，说明数学家是如何从这些普通的、众所周知的事实出发，步步深入、分析和挖掘出有广泛应用的深刻规律。使读者了解数学家做事、看问题的思路和方法。同时显示出数学的深刻、透彻，能够达到一般讨论所不能达到的地步；又展示了数学家的穷追不舍、孜孜以求的探索真理的治学精神。使读者在读来既轻松、又兴味盎然的情景中了解并慢慢学会解决数学问题的思路和方法。

张先生一直站在科学研究的前沿，为建立“几何定理机器可读性证明的理论”做着出色的工作。可贵的是他善于把他在研究工作中的思想、方法通俗、形象地介绍出来，传达给更多的人。几何定理机器证明的理论基础是“消点法”，说得再简单些就是面积。几何大厦是由一个个漂亮的小屋组成，欧几里德选了一个入口、选了一种路径走遍了每一个小屋。在《新概念几何》中，张先生试图带着大家另选一个入口、另辟蹊径地走一走、逛一逛。

从他的作品中，可以看出张先生对平面几何的情有独钟，可以看出他在整理几何体系时的独到见解。20年前，张先生就提出用“面积方法”处理平面几何问题，现在这套办法已经被很多中学老师和同学掌握，在解决数学奥林匹克问题时的优势尤为明显。平面几何在人的理性思维训练上的意义是独特的，这有点像体育项目中的体能训练。乒乓球运动员是要反复练习发球、接球、削球、抽球这些实用的基本功，但是也要拿出相当多的时间花在练习举重、跑步、耐力等不那么“立竿见影”有用的功夫上，只有有了好的身体素质，才能发挥水平、打好比赛。

应该衷心地感谢张先生的书、感谢他为数学科普所做的工作。也真的希望更多的“张景中”关心、支持、实践这件事，在中国出现几个马丁·加德纳式的人物！

其它：

书名：《离散数学（上）》

清华大学计算机系的教材

离散数学（discrete mathematics)是计算机科学基础理论的核心课程。它包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论、形式语言、自动机和计算集合等。

第一章 命题逻辑的基本概念

第一节 命题

一、什么是命题

命题是一个非真即假的陈述句。

1）命题是一个陈述句。

2）该陈述句表达的内容非真即假。

我们把这样的命题逻辑成为二值逻辑，把以这样命题作为研究对象的逻辑成为古典逻辑。

二、命题变量

我们约定用大写字母表示命题，用小写字母表示命题变量。命题是指具体的陈述句，是有确定的真值；而命题变量的真值不定，只当将某个具体命题代入命题变量时，命题变量化为命题，方可确定其真值。

三、简单命题和复合命题

不能分解成更简单的命题的组合的命题称为简单命题。它又称原子命题，它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题。

把一个或者几个简单命题用联结词（如与、或、非联结所构成的命题称为复合命题，也称为分子命题。

第二节 命题联结词及真值表

联结词分为两类：

1）真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假完全由构成它的简单命题的真假决定。

2）非真值联结词，由此联结词构成的复合命题的真假不完全由构成它的简单命题的真假来确定。

一、否定词 ┑

否定词“┑”是个一元联结词。一个命题P加上否定词就构成了一个新的命题。记作 ┑P,这个新命题是命题P的否定，读作 非P

命题P与命题非P的真假是互异的。

二、合取词 ∧

合取词“∧”是个二元命题联结词。合取词将两个命题P、Q联结起来，构成一个新命题P∧Q，读作P、Q的合取，也可读作P与Q。其中P、Q可以是简单命题，也可以是复合命题。

只有P、Q都为真时，P与Q才为真，否则为假。

即：

P=T

Q=T

P∧Q=T

三、析取词 ∨

析取词“∨”是个二元命题联结词，将两个命题P、Q联结起来，构成一个新命题P∨Q，读作P、Q的析取，也读作P或Q.

只有P、Q都为假（F）时，P∨Q才为假，否则P∨Q为真。

即：

P=F

Q=F

P∨Q=F

四、蕴涵词 →

蕴涵词“→”也是个二元命题联结词，将两个命题P、Q联结起来，构成一个新命题P→Q，读作如果P则Q，或读作P蕴涵Q，如果P那么Q。其中P称前件（前项，条件），Q称后件（后项，结论）。

规定只有当P为真而Q为假时，P→Q=F,否则P→Q=T

即：

P=T

Q=F

P→Q=F

P→Q=T下，若P=T必有Q=T,这表明P→Q体现了P是Q成立的充分条件。

P→Q下，若P=F可有Q=T,这表明P→Q体现了P不必是Q成立的必要条件。

P→Q的真值表

P Q P→Q

F F T

F T T

T F F

T T T

┑P∨Q的真值表

P Q ┑P∨Q

F F T

F T T

T F F

T T T

在P、Q的所有取值下，P→Q同┑P∨Q都有相同的真值

即：P→Q=┑P∨Q

真值相同的等值命题以等号联结。这说明→可由┑、∨来表示，从逻辑上看“如果P则Q”同“非P或Q”是等同的两个命题。

五、双条件词 =

双条件词“=”（有的书中用的是双箭头号表示）同样是个二元命题联结词，将两个命题P、Q联结起来构成新命题P=Q,读作P当且仅当Q或P等值Q.

只有当两个命题P、Q的真值相同时，P=Q的真值方为T

P=Q的真值表

P Q P=Q

F F T

F T F

T F F

T T T

第三节 合式公式（简称为公式）

合式公式定义：

1.简单命题是合式公式

2.如果A是合式公式，那么┑A也是合式公式

3.如果A、B是合式公式，那么（A∧B)、（A∨B）、（A→B）、（A=B） 也是合式公式

4.当且仅当经过有限次地使用1，2，3所组成的符号串才是合式公式。

约定联结词按┑、∨、∧、→、=的排列次序安排优先的级别。

第四节 重言式

一、定义

命题公式中有一类重言式，如果一个公式，对于它的任一解释I其真值都为真，就称其为重言式（永真式）。如P∨┑P是重言式。

显然，由∨、∧、→、=联结的重言式仍是重言式。

一个公式，如有某个解释I0，在I0下该公式真值为真，则称其是可满足的。

如果一个公式，对于它的任一解释I其真值都为假，就称其为永假式（矛盾式）或不可满足的。如P∧┑P就是矛盾式

这三类公式的关系：

1.公式A永真，当且仅当┑A永假

2.公式A可满足，当且仅当┑A非永真

3.不是可满足的公式必永假

4.不是永假的公式必可满足

二、代入规则

A是一个公式，对A使用代入规则得公式B，若A是重言式，则B也是重言式。

为保证重言式经代入规则仍得到保存，要求：

1.公式中被代换的只能是原子命题，而不能是复合命题。

2.对公式中某命题变项施以代入，必须对该公式中出现的所有同一命题变项代换同一公式。

第五节 简单自然语句的形式化

一、简单自然语句的形式化

二、较复杂自然语句的形式化

第六节 波兰表达式

一、计算机识别括号的过程

合式公式的定义中使用的是联结词的中缀表示，又引入括号以便区分运算次序，这些是人们常用的方法。

计算机识别处理这样表示的公式的方法，需要反复自左向右，自右向左的扫描。如对公式

(P∨(Q∧R))∨(S∧T)

真值的计算过程，开始从左向右扫描，至发现第一个右半括号为止，便返回至最近的左半括号，得部分公式（Q∧R）方可计算真值，随后又向右扫描，至发现第二个右半括号，便返回至第二个左半括号，于是得部分公式(P∨(Q∧R))并计算真值，重复这个过程直至计算结束。

二、波兰式

一般地说，使用联结词构成公式有三种方式，中缀式如P∨Q，前缀式如∨PQ，后缀式如PQ∨

前缀式用于逻辑学是波兰的数理逻辑学家J. Lukasiewicz提出的, 称之为波兰表示式。

如将公式(P∨(Q∧R))∨(S∧T)的这种中辍表示化成波兰式，可由内层括号逐步向外层脱开（或由外层向里逐层脱开）的办法

公式(P∨(Q∧R))∨(S∧T)的波兰式表示：

∨P∧∨QRS

以波兰式表达的公式，由计算机识别处理的过程，当自右向右扫描时可以一次完成，避免了重复扫描。同样后辍表示（逆波兰式）也有同样的优点，而且自左向右一次扫描（看起来更合理）使可识别处理一个公式，很是方便，常为计算机的程序系统所采用，只不过这种表示的公式，人们阅读起来不大习惯。

数学小丛书》

中国的数学科普书籍，不乏一些经典之作，有些更是传世精品，可惜大部分印数不多，基本上不超过5000册，有些经典已不再版，令喜欢数学的人一书难求。

近年非常可喜的一件事是，上世纪六十年代出版的，由数学大师和著名数学家撰写的《数学小丛书》，2002年由科学出版社结集重新出版。

在这套丛书18小分册中，华罗庚一人就写了5本小册子——《从杨辉三角谈起》、《从祖冲之的圆周率谈起》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、《数学归纳法》、《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》，篇篇锦绣，字字珠玑！华老的科普文章有一大特色，即创造性。在这种科普小文中，他依然能在一些问题上有自己独创性的思考。比如《数学归纳法》中对李善兰恒等式的证明。 这里面流传着一个故事：50年代初，匈牙利著名数学家Paul Turán (他发现了图论中著名的图兰定理)来华访问，在华罗庚所在的数学研究所做了一个报告，报告中他对来自清末数学家的一项数学发现——李善兰恒等式给出了一个证明。这本是中国人发现的定理，证明却不是中国人。华罗庚作为一个中国数学家，深具民族自尊心，回到住所他冥思苦想，终于在天明前给出了该恒等式的另一证明。天明一早，在他送别Paul Turán时，给了Turán一张纸条，Turán一看，发现那是华罗庚对李善兰恒等式的一个简洁证明，相较于他要用到一些高等数学的证明而言，显得非常的初等而漂亮！不知当时Turán什么反应，我想至少不得不佩服中国人的智慧吧。

传承这种科普文章风格的现在有张景中院士，他的《数学家的眼光》(2007增补版)，对微积分的基础做出了非常别致的思考。该书被一些数学家推崇备至，甚至得到陈省身的赏识，陈省身在致张景中的信中，建议该书译成外文出版。张景中的其他数学科普书籍一样精彩，有《帮你学数学》、《漫话数学》、《数学杂谈》、《从根号2谈起》、《新概念几何》、《从数学教育到教育数学》、《数学与哲学》等等，这些书被辑成《院士数学讲座专辑》由中国少年儿童出版社出版。张景中还主编了一套《好玩的数学》，这两套书籍有的十分适合小学初中的学生来看。

华罗庚的这些小册子影响比较大，丘成桐中学时代学习数学时，就得益于华老的这些科普书籍。科学时报《丘成桐：青年学子要培养为学问而学问的态度》中记者描述：因家境贫寒，中学时，丘成桐买不起书，就到图书馆和书店去看书，数学家华罗庚的书让他受益良多：“我们那时的书很少，主要看祖国大陆出版的书，因为大陆的书很便宜，我至少读了15本华罗庚先生的书，如《数论分析》和《数论导论》等，这些书的内容都漂亮极了。也看了陈明哲写的一些小册子。所以，我比课程早一个学期做完所有的习题，听数学课成为一种享受。” 华罗庚的这些小册子及他的一些文章曾被汇编为《华罗庚科普著作选集》，由上海教育出版社在80年代出版。最近被分为两册：《聪明在于勤奋天才在于积累:数学大师华罗庚谈怎样学好数学》和《从孙子的神奇妙算谈起:数学大师华罗庚献给中学生的礼物》，由中国少年儿童出版社重新出版。但有一些篇章没有收录，比如非常精妙的《有限与无穷，离散与连续》。

关于如何学习数学，我个人觉得华罗庚的《聪明在于勤奋天才在于积累》，是不二之选。华罗庚本身就是自学成才，关于如何读书和研究，自有一套独到方法。他的这些文章，虽然带上了一些时代的烙印，但去除那些政治上的东西，个人认为那些文章可称得上数学学习圣经了。同样内容的书换个书名《华罗庚：下棋找高手》，也被中国人民解放军出版社再版。

数学小丛书里还有吴文俊的《力学在几何中的一些应用》，段学复《对称》，史济怀《平均》，闵嗣鹤《格点和面积》，姜伯驹《一笔画和邮递路线问题》，龚升《从刘徽割圆谈起》，范会国《几种类型的极值问题》，蔡宗熹《等周问题》，江泽涵《多面形的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类》，常庚哲、伍润生《复数与几何》，柯召、孙琦《单位分数》，虞言林、虞琪《祖冲之算pi之谜》，冯克勤《费马猜想》。

我注意到，这些传世名篇居然还需要数学天元基金的资助，才得以再版，令人唏嘘。

丘成桐所说的华罗庚的两本书《数论分析》和《数论导论》，我想是记者记错了，应该是《数论导引》和《高等数学引论》吧。丘成桐进入大学前，数学水平就相当高了。大师向来是直接向大师学习！

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